دانش معلمین در خصوص ماهیت تعاریف: مورد توان/ نمای صفر

دانش معلمین در خصوص ماهیت تعاریف: مورد توان/ نمای صفر – ایران ترجمه – Irantarjomeh

مقالات ترجمه شده آماده گروه حسابداری

مقالات ترجمه شده آماده کل گروه های دانشگاهی

مقالات

چگونگی سفارش مقاله

الف – پرداخت وجه بحساب وب سایت ایران ترجمه(شماره حساب)ب- اطلاع جزئیات به ایمیل irantarjomeh@gmail.comشامل: مبلغ پرداختی – شماره فیش / ارجاع و تاریخ پرداخت – مقاله مورد نظر --مقالات آماده سفارش داده شده پس از تایید به ایمیل شما ارسال خواهند شد.

دانش معلمین در خصوص ماهیت تعاریف: مورد توان/ نمای صفر

چکیده

این مقاله بر روی سه معلم ریاضی دبیرستانی و دانش و اطلاعات آنها در خصوص ماهیت تعاریف تمرکز دارد. محتوای ریاضیاتی نما / توان به عنوان یک تخته پرش در ارتباط با بحث پیرامون دو ویژگی مرتبط با تعاریف بکار گرفته شده است: دامنه ها یا قلمروهای متناظر و تمایز و ارتباط بین تعاریف، اثبات ها و قضیه ها. از طریق انجام مصاحبه های مختلف این موضوع مشخص می گردد که برخی از معلمین از این نکته آگاه نیستند که تعاریف و قلمروها / دامنه ها ذاتا دارای ارتباط با یکدیگر می باشند. بعلاوه برخی از مدرسین عقیده دارند که تعاریف را می توان اثبات نمود. یافته ها همچنین معرف این موضوع است که دانش ماهیت تعاریف می تواند وابسته به محتوا نیز قلمداد شود.

کلمات کلیدی: ماهیت تعاریف، دانش و اطلاعات معلمین، قضیه، نماها، دامنه

دانش معلمین در خصوص ماهیت تعاریف: مورد توان/ نمای صفر

۱- مقدمه

تفاوت بین تعاریف و قضیه ها ممکن است برای ریاضیدانان آشکار باشد، اما آیا چنین موردی برای دانش آموزان نیز مشهود است؟ آیا این مورد برای معلمین آنها نیز مشخص شده می باشد؟ در این مقاله با توجه به مفهوم نما، Vinner (1977) مشخص می سازد که غالبا در این زمینه شاهد سر درگمی و عدم وجود تعریف مشخصی بین تعاریف و قضایا هستیم. مخصوصا، وی ذکر می کند که با توجه به تعاریف شامل شده در نماها، دانشجویان از این عقیده برخوردار می باشند که آنها قابلیت اثبات تعریف را نیز خواهند داشت. Edwards و Ward (2004) سردرگمی دانشجویان موسسات آموزشی عالی در خصوص تعاریف و قضایا را مشخص ساخته اند. بر این مبنا یکی از دانشجویان اینگونه اذعان می دارد که، «چنین موردی به صورت پایه مشخص کننده تعریف و قابلیت آن در یک قضیه است». در مطالعه دانشجویان و مدرسین ریاضی دوره متوسطه یکی از معلمین در این عرصه که مثال های متعددی را در زمینه تعاریف ریاضیاتی بیان داشته است مشخص می سازد که تفاوت بین تعاریف و قضایا چندان روشن و آشکار نمی باشد (Leikin و Zazkis،۲۰۱۰). این مطالعات ذکر شده فوق همگی مشخص کننده سردرگمی دانشجویان در زمینه ماهیت تعاریف می باشند. حال سوال مطرح شده آن است که چه چیزی سبب می شود که تعاریف و قضایا شبیه یکدیگر گردند؟ آیا سردرگمی مشابهی نیز بین مدرسین کارآزموده وجود دارد یا خیر؟

این مطالعه از محتوای نمایی جهت بررسی دانش معلمین در زمینه ماهیت تعاریف و مسایل مرتبط با آن که ممکن است سبب بروز سردرگمی شود استفاده می نماید. در مورد ویژگی نما، دو متغیر مدنظر هستند- متغیر پایه و متغیر نما. دامنه یا قلمرو به مجموعه مقید شده یا محدود شده ای از ارزش ها برای هر دوی این متغیرها اشاره دارد. نما در ابتدا در مدارس ابتدایی تعریف شده است. در زمان شروع، به هنگامی که دانش آموزان جوان هستند، هر دو ویژگی پایه و توان محدود به اعداد طبیعی هستند. به هنگامی که دنیای اعداد دانش آموزان گسترش می یابد، قلمرو این پایه نیز گسترش یافته و اعداد منطقی غیر منفی را نیز شامل می شود، اما توان یا نما همچنان محدود به اعداد طبیعی باقی می ماند. این مطالعه بر نقطه ای از زمان تمرکز دارد که با توجه به آن دامنه نما به گونه ای تعمیم می یابد که قابلیت شامل سازی  اعداد صحیح غیر منفی میسر خواهد بود. چنین موردی در ارتباط با این موضوع بیان می شود که چگونه این سه معلم دبیرستانی اقدام به توصیف مشخصه های نمایی، شامل نمای صفر، به دانش آموزان رده هشتم خود می نمایند. آیا آن ها از این موضوع آگاه می باشند که در این رابطه آن ها اقدام به گسترش یک تعریف خاص نموده اند؟ آیا آن ها از این موضوع واقف هستند که دامنه چنین تعریفی در زمینه هر دو مشخصه مربوط به پایه و توان، را می بایست مجددا مدنظر قرار داد؟ از طریق انجام مصاحبه ها، دانش آن ها در خصوص تعاریف مخصوصا در زمینه نماها و همچنین دانش آن ها در خصوص ماهیت تعاریف مورد بررسی قرار گرفته است. محتوای نمای بکار گرفته شده به عنوان یک ویژگی خاص برای بحث پیرامون دو مشخصه مربوط به تعاریف به شرح ذیل می باشد: (۱) تناسب بین یک تعریف و قلمرو یا دامنه، (۲) ارتباط بین تعاریف، اثبات ها و قضایا.

دانش معلمین در خصوص ماهیت تعاریف: مورد توان/ نمای صفر

۲- سوابق و تحقیقات مرتبط

دو مسئله اصلی در ارتباط با این موضوع وجود دارد: تمایز بین تعاریف و اثبات ها و همچنین ارتباطات آن ها، و محتوای ریاضیاتی نما. در این بخش هر دو این موارد مورد بحث قرار خواهند گرفت.

۲-۱٫تعاریف، اثبات ها و ارتباط آن ها در یک محتوای مدرسه ای

در عین آن که قضیه ها متفاوت از تعریف ها بشمار می آیند، آن ها هر دو به عنوان اشکال ارتباطات ریاضیاتی قلمداد می شوند. اثبات ها به عنوان راهکارهایی هستند که بر مبنای آن ها ما قابلیت برقراری ارتباط در این زمینه را خواهیم داشت که چرا قضایا درست هستند. این ارتباط بر مبنای یک زبان مشترک است که به وسیله جامعه قابل درک می باشد. به همین دلیل، ما می بایست تعاریفی را مورد توافق داشته باشیم که مشخص کننده معنای چنین عبارات استفاده شده در فرایند اثبات هستند. شناسایی نیاز جهت ارتقای کاربرد دانشجویان یا دانش آموزان در زمینه تعاریف دقیق، سبب شده است تا شورای ملی معلمین ریاضی (NCTM، ۲۰۰۰)، با توجه به رئوس مطالب مربوط به «استاندارد ارتباطاتی» مشخص سازد که «نوآموزان این رشته در رتبه های حد متوسط می بایست قابلیت درک نقش تعاریف ریاضیاتی و کاربرد آنها در این فرایند را داشته باشند … دانش آموزان همچنین می بایست قابلیت توسعه یک ویژگی مشخص شده در خصوص تعاریف دقیق مرتبط را حاصل آورند… » (صفحه ۶۳).

۲- ۲٫ تمرکز بر نما ها

 پیوند های متعددی در خلال سالیان مدرسه ای وجود دارند که در آن شاهد گسترش سیستم اعداد می باشیم. با توجه به هر مورد تحت گسترش، مدرسین و دانش آموزان می بایست این موضوع را در نظر داشته باشند که چگونه اعداد جدید به صورت متمایز از اعداد شناخته شده قبلی رفتار می نمایند و بعلاوه چگونه عملیات شناخته شده را می بایست به گونه ای گسترش داد که شامل اعداد جدید گردد. گسترش سیستم اعداد خود نیازمند ارائه تعاریف عملیات و عبارات جدید و همچنین اصلاح رویه های تعریف شده قبلی می باشد. بر مبنای Freudenthal (1983)، فرایند گسترش سیستم اعداد را می بایست به صورت یک ویژگی صریح و قابل درک در کلاس درس بکار گرفت.

دانش معلمین در خصوص ماهیت تعاریف: مورد توان/ نمای صفر

۳- روش

 ۳- ۱٫ موضوعات

به واسطه آن که نمای صفر در ابتدا در دوره اول دبیرستان تدریس می شود، سه معلم مرتبط تحت مصاحبه قرار گرفتند. این معلمین الزامی جهت دریافت رتبه های اول ریاضیاتی ندارند و در حقیقت معلمین مورد مصاحبه از اولین مدرک مرتبط در زمینه آموزش که مشخص کننده آموزش ریاضی می باشد برخوردار بوده اند. کلیه معلمین دارای بیش از ده سال تجربه تدریس ریاضی بوده و حداقل برای یک دوره پنج ساله در مدارس مشابهی به تدریس پرداخته اند. محتوای درسی کلاسی (Goren، ۱۹۹۷) که به وسیله کلیه این سه مدرس بکار گرفته شده است شامل تعریف ذیل (ترجمه از زبان Hebrew) است که در شروع فصل در ارتباط با توان و ریشه ها عرضه شده است:

 ۳- ۲٫ ابزار ها و راهکار ها

بررسی دانش تعاریف، ارتباط بین تعاریف و قلمرو های متناظر آن ها و ارتباطات با اثبات ها و قضیه ها همگی به عنوان مؤلفه های پیچیده در این مبحث بشمار می آیند. به همین دلیل تمایل جهت کاربرد یک مصاحبه بالینی نیمه ساختاری با یک جهت گیری شناختی با توجه به موضوع مورد بررسی همان گونه که به وسیله Zazkis و Hazzan (1999) توصیف شده است وجود دارد. بر این مبنا، مصاحبه ها به صورت منفرد خارج از محدوده مدارس و در خانه های معلمین انجام شد. آن ها به صورت نیمه ساختاری بودند به گونه ای که سوالات در ابتدا طراحی شده اما مشروط به پاسخ های معلمین قلمداد شد. آن ها بر روی موضوع مورد بحث تمرکز داشتند که شامل نماها و تعاریف ریاضیاتی آن ها است و هدف مشخص سازی درک معلمین از این دو مقوله می باشد. کلیه مصاحبه ها با استفاده از نوار ضبط شده و متعاقبا رونویسی شد.

دانش معلمین در خصوص ماهیت تعاریف: مورد توان/ نمای صفر

۴- نتایج

در این بخش سه پروفایل بر مبنای هر مصاحبه معلمین ارائه می شود. برای هر مدرس، روش تشریح شده به وسیله وی برای معرفی موضوع نماها در ابتدا مورد بررسی قرار گرفته و متعاقبا بحث پیرامون نمای صفر ادامه می یابد. در نهایت، موضوع کلی تعاریف مورد بحث قرار خواهد گرفت.

دانش معلمین در خصوص ماهیت تعاریف: مورد توان/ نمای صفر

۵- خلاصه و مباحث

ما این بخش را با استفاده از خلاصه سازی دانش مدرسین در زمینه تعاریف مرتبط با نماها آغاز نموده و کار خود را از طریق بحث پیرامون دانش آن ها، به طور کلی از نقطه نظر تعاریف، ادامه می دهیم.

۵-۱٫ دانش تعاریف مرتبط با نماها

با توجه به تعریف رسمی عملیات توان aⁿ = a·a·. . .·a، n  تنها هانا به صورت همزمان این مورد را ذکر کرد که چنین عبارتی می تواند در بردارنده یک مشخصه تعریفی باشد. به هنگامی که مخصوصا در این زمینه از دبی سوال شد وی توافق خود را در این مبحث اعلام کرد که چنین موردی به عنوان یک مشخصه تعریفی بشمار می آید اما در عین حال شرون نتوانست تصمیم خود را ارائه دهد. بر این مبنا می توان مشخص ساخت که تصویر مفهومی شرون در خصوص تعاریف مرتبط صرفا منوط به هندسه می باشد و وی اطمینان ندارد که قابلیت تعریف این مشخصه های عملیاتی نیز وجود دارد یا خیر. با این حال، کتاب های درسی به طور اکید مشخص می سازند که این ویژگی مربوط به توان قابلیت تعریف را دارد. با توجه به حوزه چنین تعریفی، تنها شرون به صورت همزمان چنین حوزه ای را ارائه داشته است. با این حال، دانش وی ناکافی می باشد. به هنگامی که در خصوص این حوزه یا قلمرو از هانا سوال شد مشخص گردید که دانش وی نیز نامکفی می باشد. دبی این مورد را در ارتباط با حوزه مرتبط به طور کلی در نظر نگرفته و مشخص می سازد که در کلاس نیز این مورد بحث نشده است. البته، ما نمی توانیم به این نتیجه گیری برسیم که دبی از مقوله قلمرو یا دامنه مرتبط چیزی نمی داند. با این حال، به نظر می رسد که حداقل دبی در مبحث حوزه تعریف این ویژگی را به عنوان یک بخش لاینفک مرتبط با تعریف قلمداد نمی کند.

۵-۲٫ دانش تعاریف به طور کلی

ما دانش تعاریف مدرسین را در نظر گرفته و بر این مبنا مشخص ساختیم که دو ویژگی را می توان مورد بررسی قرار داد: دانش معلمین در زمینه ارتباط بین یک تعریف و قلمرو یا دامنه متناظر با آن و دانش معلمین در خصوص تعاریف با توجه به اثبات ها و قضایا.

دانش معلمین در خصوص ماهیت تعاریف: مورد توان/ نمای صفر

۶- نتیجه گیری

مفهوم تعاریف الزاما در ارتباط با ویژگی های نمایی و توان های تدریس شده نمی باشد. صرفا یک معلم به صورت همزمان از این عبارت در خصوص تعریف در مصاحبه استفاده نموده و تمامی سه مدرس تحت مصاحبه جهت بررسی ماهیت تعاریف به ویژگی های هندسی اشاره داشته اند. این موضوع تعجب برانگیز نمی باشد آن هم با توجه به آن که برنامه های درسی هندسی بر روی تدرس و فراگیری خاص تعاریف، قضایا، اثبات ها و ارتباطات آن ها اشاره و تاکید دارند. توجه شود که ما قبلا در مطالعات انجام شده اطلاعات معلمین دوره متوسطه در خصوص تعاریف را در نظر گرفتیم که غنی تر از محتوای هندسی آن در مقایسه با ویژگی های جبری و حساب دیفرانسیل بوده است ( Leikinو Zazkis، ۲۰۱۰). در محتوای هندسی، معلمین مطالعه جاری اقدام به توصیف دانش خود در خصوص ویژگی های دل بخواهی تعاریف و کاربرد آن ها در اثبات و قضایا نمودند. با این حال، علیرغم این دانش، دو معلم مشخص ساختند که قابلیت اثبات یک تعریف وجود دارد. به عبارت دیگر در عین آن که مطالعات قبلی سردرگمی بین تعاریف و قضایا را خاطرنشان ساخته بودند، این مطالعه نگرشی را در یک منبع محتمل در زمینه سر درگمی عرضه داشته است – اعتقادی که بر مبنای آن قابلیت اثبات تعاریف، همانند قضایا وجود خواهد داشت.

محتوای نما سبب شده است تا قابلیت بررسی دانش معلمین در خصوص گسترش تعاریف را داشته باشیم. هیچ کدام از این معلمین a⁰ = 1 را به عنوان یک مشخصه گسترش یافته اولین تعریف در نظر نداشته اند، که احتمالا به واسطه این موضوع می باشد که آن ها تصور داشته اند که قابلیت اثبات آن وجود دارد. آیا چنین موردی مهم است؟ احتمالا، دانستن این موضوع مکفی می باشد که هر عدد به توان صفر، به استثنای خود صفر، برابر با یک می باشد. چرا یک دانش آموز، یا برای چنین موردی، یک معلم، می بایست از این موضوع آگاه باشد که یک تعریف را می توان گسترش یا تعمیم داد؟ و آیا حقیقتا این موضوع مهم می باشد که a⁰ = 1 به عنوان یک تعریف بشمار می آید و ربطی به یک قضیه ندارد؟ جهت پاسخگویی به این سوالات، لازم است تا از خود این سوال را مطرح نماییم که چنین موردی چه ارتباطی با ریاضیات دارد و بعلاوه ربط آن با دانستن ریاضی چیست. متعاقبا ما می بایست از خود بپرسیم، چگونه می خواهیم تا دانش آموزان ما قابلیت درک ریاضی را داشته باشند؟

تعاریف و قضایا صرفا به عنوان ویژگی های اصلی هندسه بشمار نمی آیند. آن ها برای کل مبحث ریاضی به عنوان یک ویژگی اصلی در کلیه سطوح مطرح هستند. سالیان اولیه دبیرستانی خود به عنوان یک پل بین مدارس ابتدایی با مدارس سطح بالاتر محسوب می شوند. مطالعات که در ارتباط با سوابق ارائه شده اعمال شده اند (Ball و Bass، ۲۰۰۰، Lampert، ۱۹۹۰) مشخص کننده این موضوع هستند که دانش آموزان مدارس ابتدایی قابلیت بکارگیری تعاریف به هنگام استدلال در خصوص ریاضیات را خواهند داشت. به عنوان یک مدرس ریاضی، هدف ما برای دوره های اولیه دبیرستانی و دانش آموزان سطح دبیرستان تداوم بکارگیری تعاریف به هنگام اعمال استدلال های ریاضیاتی می باشد. ما همچنین سعی در ارائه ماهیت ریاضیاتی و درک آن، چسبندگی و ساختار سیستماتیک آن می نماییم. معلمینی که عقیده دارند که قابلیت اثبات یک تعریف وجود دارد، معرف سردرگمی خود بین تعاریف و قضایا هستند که احتمالا سبب خواهد شد تا این سردرگمی را نیز به دانش آموزان خود انتقال دهند.

این یافته ها به دست آمده از مصاحبه سه مدرس را نمی توان الزاما برای یک جمعیت بزرگتر تعمیم داد. با این حال، مصاحبه های بالینی به ما اجازه ارائه یک عمق مشخص از ویژگی های بررسی را خواهد داد که البته الزاما به معنای ارائه در روش های دیگر نخواهد بود. آن ها به محققین اجازه ورود به تفکر فراگیرندگان را خواهند داد (Zazkis و Hazzan، ۱۹۹۹) یا در چنین موردی اجازه ورود به تفکرات مربوط به معلمین حاصل خواهد شد. تداوم تحقیقات مرتبط با دانش معلمین در زمینه ماهیت تعاریف می بایست جهت شامل سازی محتویات مختلف ادامه و گسترش یابد. به علاوه، معلمین نیز می بایست قابلیت بررسی مواردی نظیر ویژگی های تحقیقاتی با بهره گیری از دیگر مدرسین کارآزموده به منظور افزایش آگاهی آن ها از مشخصه ها و عملیاتی نظیر تعاریف، ارتقای دانش در خصوص چگونگی کاربرد تعاریف و گسترش آن ها و اهمیت قلمروها یا دامنه های متناظر یک تعریف همراه با بیشتر نمودن تمایز و ارتباط بین تعاریف و قضایا، را مورد بحث قرار دهند.