مقدمه ای بر کنترل مقاوم برای اختلالات غیر ساختاری – فصل ۱

مقدمه ای بر کنترل مقاوم برای اختلالات غیر ساختاری – فصل ۱- ایران ترجمه – Irantarjomeh

مقالات ترجمه شده آماده گروه برق – الکترونیک

مقالات ترجمه شده آماده کل گروه های دانشگاهی

مقالات

 مقدمه ای بر کنترل مقاوم برای اختلالات غیر ساختاری

فصل ۱

مقدمه

۱-۱٫ یک چشم انداز کوتاه تاریخی

کنترل مقاوم غالباً به عنوان کنترل سیستم های نامشخص یا غیر قطعی با کنترل کننده های ثابت تلقی می شود. عبارت ارائه شده در این مبحث در ابتدا در اوایل قرن هفدهم ارائه شده است، با این حال مسئله اصلی برای سالیان بسیاری تحت بررسی قرار داشته است. در سال ۱۹۲۷ H. S. Black [4] کاربرد بهره های حلقه بزرگ و بازخورد جهت کاهش حساسیت در برابر اختلالات پلنت را مشخص ساخت. در سال ۱۹۳۲، با توجه به معیار پایداری کلاسیک جدید، نایکوئیست (Nyquist) [31] یک معیار حوزه فرکانس ساده جهت تعیین پایداری سیستم های بازخوردی برحسب بهره لوپ را مشخص ساخت. تئوری نایکوئیست مشخص کننده این موضوع می باشد که در صورتی که خواستار حاصل آوردن پایداری لوپ بسته باشیم میزان بزرگ بودن بهره لوپ می بایست تا چه اندازه باشد. بوب (Bode) [5] نسبت به ترکیب این دو نتیجه اصلی جهت ارائه یک تئوری در خصوص طراحی سیستم [مقاوم] اقدام نمود که حاکم بر شرایط میدانی تا اوایل دهه ۸۰ بود. متعاقباً، تعدادی از تئوری ها بر مبنای مفاهیم فضای – هاردی و تئوری درون یابی ارائه شد که عمدتاً نتیجه تحقیقات Tannenbaum [35]، Zames و Francis [45]، Kimura [27] می باشند، که رویکرد جدیدی را در خصوص سنتز سیستم های بازخوردی ارائه داده اند. این نتایج به سیستم های چند متغیره از طریق تحقیقات Vidyasagar و Kimura [38]، Chang و Pearson [7]، Glover [23]، و دیگران تعمیم داده شدند. بسیاری از نتایج این دوره در محتویات چاپ شده مجدد تحت عنوان کنترل مقاوم جمع آوری گردیدند [۱۳]. رویکرد اصلی دیگر در ارتباط با کنترل مقاوم در طی این دوره زمانی متمرکز بر نتایج Kharitonov [26] در خصوص پایداری چند جمله ای های بازه ای می باشد. البته ما در این مقاله چنین مبحثی را دنبال نمی نمائیم چرا که تاکنون نتایج آن محدود به تحلیل سیستم های غیر قطعی، به جای سنتز آن ها بوده است. ما در این جا سعی در تمرکز بر روی مسایل و روش هایی داریم که منجر به ارائه تکنیک های سنتز تحلیلی شده است. برخی از نتایج اخیر در خصوص تئوری کنترل مقاوم را می توانید در مباحث مجدداً چاپ شده اخیر تحت عنوان [نتایج اخیر در زمینه کنترل مقاوم] [۱۷] مطالعه کنید. یکی از نتایج مهم اخیر رویکرد معادله دو- ریکاتی جهت حل مسئله کنترل مقاوم چند متغیره می باشد که به وسیله Doyle، Glover، Khargonekar و Francis [20] ارائه شده است.  

مقدمه ای بر کنترل مقاوم برای اختلالات غیر ساختاری – فصل ۱

۱-۲٫ پیش نیازها

این موضوع در نظر گرفته می شود که خوانندگان با مفاهیم سیستم خطی کلیدی فضای حالت و توصیفات سیستم تابع انتقال، کنترل پذیری، رویت پذیری و پایداری، که به طور مثال در متن های استاندارد ارائه شده به وسیله Chen [8] و Kailath [25] آورده شده است آشنا باشند. بعلاوه این مورد نیز مدنظر است که خوانندگان دارای اطلاعات پایه در خصوص توابع یک متغیر پیچیده و همچنین ماتریس های مربوطه همراه با دانش پایه در ارتباط با مفاهیم کنترل اتوماتیک شامل مفاهیم کنترل بازخورد، پایداری ورودی – محدود خروجی – محدود (BIBO)، معیار نایکوئیست، تابع حساسیت، حاشیه های بهره و فاز، و قاعده درجه دوم خطی بهینه (LQR) باشند. غالب مباحث فوق در متون مقدماتی استاندارد در ارتباط با کنترل اتوماتیک ارائه شده اند. مسئله LQR، و مسئله گاوسی درجه دوم خطی (LQG) مرتبط با جزئیات مربوطه در کتاب Kwakernaak و Sivan [28] و Anderson و Moore [1] مورد بحث قرار گرفته اند.

۱-۳٫ مدل سازی سیستم های نامشخص و مسئله کنترل مقاوم

عدم قطعیت غیرساختاری حوزه زمانی

در این مورد، داده های ارائه شده برای کنترل مقاوم به شرح ذیل هستند:

داده های اسمی

کرانه ها در ارتباط با اختلالات  و غیره

که در آن علامت  معرف هنجار یک ماتریس می باشد.

عدم قطعیت ساختاری حوزه زمانی

در این مورد، ما دارای اطلاعات بیشتری در خصوص ساختار عدم قطعیت می باشیم، به طور مثال:

داده های ارائه شده برای کنترل مقاوم به شرح ذیل هستند:

داده های اسمی  

کرانه ها در

عدم قطعیت غیرساختاری حوزه فرکانس

اختلال اضافه   (۱-۳)

اختلال ضربی ورودی   (۱-۴)

اختلال ضربی خروجی   (۱-۵)

داده های ارائه شده برای کنترل مقاوم به شرح ذیل هستند:

داده های اسمی  

کرانه های اختلال  

عدم قطعیت ساختاری حوزه فرکانس

در این مورد توابع عدم قطعیت در قالب ذیل مشخص می شوند:

و داده های ارائه شده برای طراحی یک کنترل کننده مقاوم به شرح ذیل هستند:

اسمی

کرانه های فوقانی و تحتانی در  

در تئوری ارائه شده در اینجا، تنها مدل های حوزه فرکانس غیر ساختاری مدنظر خواهند بود.

مثال ۱-۱٫

– پلنت با عدم قطعیت غیر ساختاری اضافی حوزه فرکانس

که در آن

پلنت با عدم قطعیت ساختاری حوزه زمانی

با

توجه داشته باشید که قابلیت طراحی یک جبران گر برای سیستمی با یک عدم قطعیت ساختاری با استفاده از روش های تخصیص یافته به سیستم های عدم قطعیت غیر ساختاری وجود دارد، اما نتایج به طور کلی بسیار محافظه کارانه می باشند. عدم قطعیت ساختاری اطلاعات بسیار بیشتری را در خصوص سیستم در مقایسه با عدم قطعیت غیر ساختاری ارائه خواهد نمود. با این وجود، تئوری های تکمیل شده بیشتری برای عدم قطعیت غیر ساختاری در حوزه زمانی در مقایسه با عدم قطعیت ساختاری موجود می باشند. به همین دلیل، ذیلاً صرفاً عدم قطعیت حوزه فرکانس غیر ساختاری مدنظر قرار می گیرد.

خوانندگان علاقه مند در ارتباط با تئوری های ساختاری می توانند به موارد ذیل رجوع نمایند:

• تئوری چند جمله ای غیر قطعی… [۲]

• تئوری مقدار تکین ساختاری… (SSV) [18].

مشکل انتخاب نقاط عملیاتی اسمی و کرانه های غیر قطعی برای مسایل فیزیکی خاص به عنوان مشکل اصلی و قابل توجه به شمار می آید، اما چنین مسئله ای در اینجا مورد بررسی قرار نمی گیرد.

مسئله کنترل مقاوم

تذکر: در کنترل مقاوم جبران گر تثبیت گردیده و قابلیت ارضای ضروریات عملکرد بدون تعدیلات متعاقب را خواهد داشت. در مقابل کنترل تطبیقی نیازمند تعدیل آنلاین برای کنترل کننده و حاصل آوردن عملکرد رضایت بخش به صورت مجانبی می باشد.

مقدمه ای بر کنترل مقاوم برای اختلالات غیر ساختاری – فصل ۱

۱-۴٫ اصول مقدماتی ریاضیاتی

در این مباحث ما بحث خود را محدود به توابع یک متغیر پیچیده می نمائیم که به صورت منطقی است (یعنی نسبت های چند جمله ای ها مدنظر هستند).

تعریف فضاهای هاردی:

*فضای هاردی

فضای کلیه توابع پیچیده F(s) یک متغیر پیچیده s که به صورت تحلیلی در s > 0 مدنظر خواهد بود.

*H² – space

فضای توابع هاردی که برای آن هنجار H² به شرح ذیل تعریف می گردد:

که به صورت مقید و کران دار ؟؟؟ خواهد بود، یعنی:

تذکر: توابع H² می بایست کاملاً مناسب در نظر گرفته شده و نمی توانند دارای هیچگونه قطبی بر روی  باشند.

*H^¥ – space

توابع فضای هاردی که برای آن هنجار H^¥ به شرح ذیل تعریف می گردد:

تذکر: توابع H^¥ می بایست مناسب باشند و همچنین نباید دارای هیچگونه قطبی بر روی محور  باشند. بعلاوه از قضیه حداکثر قدر مطلق چنین موردی دنبال می شود که  برای کلیه s کران دار خواهد بود آن هم به گونه ای که  حاصل شود، چرا که حداکثر قدر مطلق یک تابع که در یک ناحیه به صورت تحلیلی می باشد را می بایست بر روی کرانه ناحیه حاصل آورد، به جز آن که چنین تابعی به صورت یکسان یک ثابت در نظر گرفته شود. در نهایت، یک تابع انتقال F(s) در صورتی به صورت BIBO پایدار خواهد بود که تنها به عنوان یک تابع H^¥ در نظر گرفته شود.

توابع H^¥ خاص

SCHUR

تابع H^¥ پیچیده با هنجار H^¥ کران دار شده به وسیله ۱

حقیقی محدود

تابع Schur حقیقی (تابع Schur با ضرایب حقیقی).

حقیقی کاملاً محدود

تابع حقیقی کران دار یا محدود با هنجار H^¥ کاملاً کمتر از ۱٫

تابع داخلی

تابع H^¥ F(s) با  برای کلیه w (تابع تمام گذر).

تابع بیرونی

تابع H^¥ F(s) با کلیه صفرهای آن در ، شامل ¥.

حقیقت: هر تابع H^¥ را می توان به عنوان حاصلضرب تابع داخلی ضرب در یک تابع خارجی در نظر گرفت.

چنین نتیجه ای در مورد اسکالر چندان حایز اهمیت نمی باشد. این مورد در بخش ۲ برای سیستم های MIMO مشخص شده است.

مثال ۱-۲

ضرب بلاشکی

توابع H^¥ با قالب ذیل را در نظر بگیرید:

  که 

تذکر: ضرب های بلاشکی به عنوان توابع داخلی به شمار می آیند.

واحد

یک واحد در H^¥ به عنوان یک تابع H^¥ به شمار می آید که معکوس آن نیز H^¥ خواهد بود.

مثال ۱-۴

 به عنوان یک واحد در H^¥ به شمار نمی آید، بنابراین ۱/F(s) در s > 0 به صورت تحلیلی مدنظر نخواهد بود.

  H^¥.

تابع حقیقی مثبت

یک تابع Z(s) به عنوان تابع حقیقی مثبت (PR) به شمار می آید آن هم در صورتی که:

• Z(s) به صورت تحلیلی برای Re s > 0 باشد.

• Re Z(s) ³ ۰ برابر با Re s > 0 در نظر گرفته می شود

• Z(s) به صورت حقیقی برای s حقیقی محسوب شود.

با توجه به یک تابع Z(s) قابلیت تعریف S(s) به شرح ذیل وجود دارد:

و رابطه معکوس

ما دارای نتیجه ذیل می باشیم:

Z(s) یک تابع حقیقی مثبت تلقی خواهد شد آن هم صرفاً در صورتی که S(s) به صورت تابع حقیقی محدود یا کران دار تلقی شود.

تابع حقیقی مثبت اکید

یک تابع Z(s) در صورتی به عنوان تابع حقیقی مثبت اکید (SPR) محسوب خواهد شد که:

• Z(s) برای Re s ³ ۰ به صورت تحلیلی باشد.

• Re Z(s) > 0 برای Re s ³ ۰ صادق باشد.

• Z(s) برای s حقیقی نیز به صورت حقیقی در نظر گرفته شود.

 مثال ۱-۳

• شرایط ارضا شده اند.

۱-۵٫ تمرین ها

1. یک پلنت را در نظر بگیرید که در آن پارامترهای نامشخص a و k بین محدوده های  و  متغیر هستند. حال مطلوب است انتخاب پلنت اسمی به صورت و محاسبه یک محدوده یا کرانه بر روی عدم قطعیت .

3. ارائه تابع مرتبه دوم

حال مطلوب است یافتن شرایط ضروری و مکفی بر روی ضریب a،b،c،d،e  برای این تابع به منظور ارائه حالت کاملاً حقیقی مثبت. تکرار این مورد برای آن که F(s) به عنوان یک تابع داخلی به شمار آید.

3. ۳٫ توصیف هر کدام از موارد جاخالی در جدول مثال ۱-۳٫

4. نشان دادن آن که آیا F(s) و G(s) شامل SPR خواهند بود به گونه ای که ۱/f(s) و F(s) + G(s) نیز مدنظر قرار گیرند.

5. نشان دادن آن که F(s) و G(s) شامل SBR هستند به گونه ای که F(s)G(s) نیز صحت داشته باشد.

مقدمه ای بر کنترل مقاوم برای اختلالات غیر ساختاری – فصل ۱