معادله شرودینگر راه حل تقریبی

معادله شرودینگر راه حل تقریبی – ایران ترجمه – Irantarjomeh

مقالات ترجمه شده آماده گروه  مکانیک

مقالات ترجمه شده آماده کل گروه های دانشگاهی

مقالات

چگونگی سفارش مقاله

الف – پرداخت وجه بحساب وب سایت ایران ترجمه(شماره حساب)ب- اطلاع جزئیات به ایمیل irantarjomeh@gmail.comشامل: مبلغ پرداختی – شماره فیش / ارجاع و تاریخ پرداخت – مقاله مورد نظر --مقالات آماده سفارش داده شده پس از تایید به ایمیل شما ارسال خواهند شد.

فصل ۹

راه حل­های تقریبی معادله شرودینگر

۹٫۱ متدWKB

معادله شرودینگر تنها برای تعداد بسیارکمی از انرژی­های پتانسیل مشخص U(x) دارای پاسخ تحلیلی می­باشد. برای مثال چاه مربعی بینهایت دارای یک پاسخ تحلیلی می­باشد. اگر یک انرژی پتانسیل یک بعدی یک فرم ساده شده نداشته باشد، راه حل مستقل از زمان یک بعدی رابطه شرودینگر عموما یک مسئله پیچیده می­باشد.

برخی از متدهای تقریبی برای حل معادله شرودینگر متد آشفتگی (مراجعه شود به فصول ۱۰ و ۱۱) یا متد تغییر (مراجعه شود به فصل ۹) می­باشند. یک متد تقریبی با قابلیت تطبیق­پذیری بالا توسط ونزل، کرامر و بریلویین تدوین شده است(۱۹۲۶) و متدWKB یا تقریب WKB نامیده میشود. این متد توابع موج تقریبی را در مسائل یک بعدی فراهم می­آورد. متد WKB  همچنین می­تواند به مسائل سه بعدی اعمال گردد، هنگامیکه پتانسیل کروی متقارن بوده و معادله دیفرانسیل شعاعی را بتوان از مسئله سه بعدی تفکیک نمود.( برای مثال، بوهم ۱۹۵۱)

تقریب WKB درصورتیکه انرژی پتانسیل U(x) به آرامی تغییر نماید، می­تواند استفاده شود. به ویژه، تغییرات U(x) بایستی در مقیاس طولی طول موج Broglie ، کوچک باشد. در یک پتانسیل ثابت، معادله شرودینگر پاسخهای exp( بطوریکه مقدار ثابتی باشد. اگر U(x) به آرامی با x تغییر نماید، پاسخ را به شکل زیر می­نویسیم.

به عنوان مثال، از تقریب WKB برای محاسبه دامنه تابع موج در ناحیه ممنوعه از نظر کلاسیکی برای یک پتانسیل انرژی U(x)استفاده می­نماییم. ناحیه ممنوعه در شکل ۹٫۱ نشان داده شده است. ذره ای با انرژی کلE دارای انرژی جنبشی E-U(x). در ناحیه ممنوعه کلاسیکی، انرژی جنبشی منفی است لذا برای ذرات کلاسیک نمی­تواند اتفاق بیافتد. بنابراین نواحی که در آن(x)<0  E-U منفی باشد، برای ذرات کلاسیک ممنوع است. در مقابل، معادله شرودینگر پاسخهایی حتی در نواحی ممنوعه کلاسیکی دارد. همانطور که در ذیل دیده خواهد شد،دامنه تابع موج در این نواحی به سرعت کاهش می­یابد. ذره یا تابع موج از میان مرزتونل  می­زند. بزرگی تابع موج در مرزهمانطور که در شکل ۹٫۱ دیده می­شود، با  نشان داده می­شود.

تمرین. احتمال تونل زدن در سرتاسر یک مرز. یک مرز کوانتومی که در شکل۹٫۲ نشان داده شده است را درنظر بگیرید. الکترون­های ناحیه یک انرژی کافی برای غلبه بر مرز توسط نشر گرمایی بر روی مرز را دارا نیستند. اما انتقال­دهنده­ها، دارای احتمال غیر صفر برای تونل زدن سراسر مرز می­باشند. احتمال یافتن الکترون در سمت چپ مرز توسط  نمایش داده می­شود. مشابها،  احتمال یافتن الکترون در سمت راست مرز توسط  نمایش داده می­شود. بنابراین احتمال تونل زدن برابراست با:

معادله شرودینگر راه حل تقریبی

۹٫۲ فرمول­های پیوند در متد WKB

تقریب WKB  ، یک پاسخشبه تناوبی و یک پاسخ نمایی میرا به ترتیب برای نواحی ممنوعه کلاسیکی و مجاز کلاسیکی فراهم می­آورد. توجه زیادی بایستی در حوالی نقطه به اصطلاح چرخش کلاسیکی در استفاده از متدWKBبکار گرفته شود. همانطور که در شکل ۹٫۳ نشان داده شده است، یک ذره کلاسیکی تنها مجاز به حضور در ناحیه دو که در آن E>U(x) است، می­باشد. یک ذره کلاسیکی با انرژی کل E، در  تغییر مسیر می­دهد زیرا انرژی جنبشی در این نقطه صفر است یعنی می­باشد. در مقابل، یک ذره مکانیک کوانتومی می­تواند فرای نقطه چرخش کلاسیکی تونل بزند.

معادله شرودینگر راه حل تقریبی

۹٫۳روش WKB برای حالت‌های مرزی

از روش WKB می‌توان برای بدست آوردن انرژی‌های حالات ویژه[۱] یک چاه پتانسیل استفاده نمود. نمونه‌ای از یک چاه پتانسیل در شکل ۹٫۵ نشان داده‌شده است. تقریب WKB را می‌توان در سه ناحیه I،II و III مورد استفاده قرار داد. در نزدیکی نقاط چرخش از روابط ارتباطی استفاده می‌شود. در ناحیه I، مقدار تابع موج برای مقادیر به اندازه کافی کوچک  می‌بایست صفر شود. در نتیجه تابع موج در ناحیه یک عبارتند از:

[۱]eigenstate

۹٫۴ روش تغییرات جزئی

روش تغییرات جزئی راه حلی کلی برای محاسبه توابع موج تقریبی و انرژی‌های حالات ویژه‌ی یک پتانسیل است. نقطه شروع این روش یک حدس مناسب برای تابع موج برای یک پتانسیل کوانتوم مکانیکی داده شده است. با این وجود تضمینی وجود ندارد که این حدس مناسبی برای تابع موج مطلوب است. لذا تابع موج تقریبی بر اساس حدس اولیه را تابع آزمایشی می‌نامیم. تابع آزمایش می‌تواند یک یا چند پارامتر آزمایشی داشته باشد که انتخاب آن‌ها موجب بهینه شدن تابع موج شود. فرض کنید تابع آزمایشی نرمال شده برای یک مسئله یک بعدی  است که  مختصات و  پارامتر آزمایشی است که مقدار آن می‌بایست تعیین شود.